1994 gründete der Brite die Early Opera Company, mit der er regelmäßig in der Wigmore Hall und am St. John’s Smith Square auftritt. Curnyn erarbeitete Produktionen mit der Opera Australia, dem Landestheater Salzburg, Oper Frankfurt, Komische Oper Berlin, der Oper Stuttgart, dem Teatro Nacional de São Carlos, Theater Basel. In den USA dirigierte er u. a. »Cosi fan tutte« für die New York City Opera und Händels »Tolomeo« für die Glimmerglass Opera. Zu seiner Diskografie mit der Early Opera Company für das Label Chandos gehören u. a. die Aufnahme von Händels »Partenope« aus dem Jahr 2005, die von der Sunday Times zur besten Aufnahme des Jahres 2008 gewählt wurde. Er leitet regelmäßig Produktionen an der Royal Opera, Covent Garden und der English National Opera.